Đề cương ôn tập giữa học kỳ 1 Toán học Lớp 9 - Năm học 2021-2022

Nội dung tài liệu: Đề cương ôn tập giữa học kỳ 1 Toán học Lớp 9 - Năm học 2021-2022

1. ĐỀ CƢƠNG ƠN GIỮA KÌ 1 NĂM HỌC 2021 – 2022 22 22 A= B = 3 1 3 1 7 5 7 5 11 21 C D 5 3 5 3 1 2 1 2 2 3 6 8 4 6 3 5 5 2 E = F : 234 2 1 5 1 5 3 5 5 5 5 7 5 7 5 H G 5 5 5 5 7 5 7 5 Bài 11: Rút gọn biểu thức sau: A 81 a 5 25 a 15 4 a 6 a với a 0 . B 4 x 4 9 x 9 25 x 25 với x 1. 4 2 x x C : với x 0;x 4 x 2 x 4 x 2 112x D +: với x > 0 và x 9. x+ 3 x 3 x9 2 x y 4 xy x y y x E (với xy 0; 0 và xy ) x y xy 1 1a 1 F : với a 0và a 1 a a a 1 a a x x x 4 G  (với x 0 và x 4 ). x 2 x 2 4 x x x x 1 H , với x 0 và x 1. xx 11x 1 x x 1 x 1 x P = : x với x > 0 và x 1 x 1 x 1 x 1 x 4 x 4 x x 2 Q với x>0 và x 4 xx 22 1 1 1 M (): với và a 1 a a a 1 1 1 N= : với x > 0 và x 1 x x x 1 x ( x 1) 2 1 2 1 I = :  x ( x 0; x 1) x 1 x 11 x x a a a a L = 1 . 1 với và aa 11 xy ()xy 2 K = : (x > y > 0) x( x 2 y ) y2 x() x y 3
2. ĐỀ CƢƠNG ƠN GIỮA KÌ 1 NĂM HỌC 2021 – 2022 2 x y y x x y 4 xy O = (x ; y 0; x y ) xy x y a a b b S = ab (a > 0; b > 0) ab x y x y xy Y : (x,y0;xy) x y x y xy xyy 2 X ( x ; y 0 ; x y ) x y x y xy 1 1 1 2 Bài 12: Cho biểu thức N 1 xx 0, 1 x x 11 x x 1 a) Rút gọn biểu thức N b) Tìm giá trị của x để biểu thức N = 3 11 Bài 13: Cho biểu thức: P aa ( 1) a a 11 a a Rút gọn P và chứng tỏ P 0 1 1 x 1 Bài 14: Cho biểu thức A = : 2 x x x 1 x 1 a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A. 1 b) Tìm giá trị của x để A = . 3 c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = A - 9 x x x 8 Bài 15: Cho biểu thức: P = 3(1 x) , với x 0 x 2 x 4 a) Rút gọn biểu thức P. 2P b) Tìm các giá trị nguyên dƣơng của x để biểu thức Q = nhận giá trị nguyên. 1 P x2 x2 x x Bài t 16. Cho biểu thức: A1 x x1 x a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm x để A = 2 1 x x x x x x Bài 17. Cho P= :7 1 x x 1 x 3 7 3 7 a) Rút gọn P b) Tìm x để P cĩ giá trị bằng 4 Bài tập tốn thực tiễn Bài tập 18. (Kích thƣớc ti vi theo inch) Kích thước màn hình của một chiếc tivi được tính theo đơn vị inch. Ví dụ: tivi 19 inch là tivi cĩ độ dài đường chéo màn hình là 19 inch (1 inch = 2,54 cm) Một chiếc tivi màn hình phẳng cĩ chiều ngang 73,5 cm; chiều cao 44,6cm. Phần viền xung quanh cĩ bề rộng 1,5 cm. Hỏi kích thƣớc màn hình tivi là bao nhiêu inch? 4
3. ĐỀ CƢƠNG ƠN GIỮA KÌ 1 NĂM HỌC 2021 – 2022 HD: Tính chiều dài và rộng của màn hình từ đĩ áp dụng định lí Pytago tính độ dài đường chéo màn hình đĩ là kích thước của nĩ ĐA: 32 inch Bài tập 19.Để tính tốn thời gian một chu kỳ đong đƣa (một chu kỳ đong đƣa dây đu đƣợc tính từ lúc dây đu bắt đầu đƣợc đƣa lên cao đến khi dừng hẳn) của một dây đu, ngƣời ta sử L dụng cơng thức: T 2π . Trong đĩ, T là thời gian một chu kỳ đong đƣa, L là chiều dài g của dây đu, g = 9,81m/s2. a) Một dây đu cĩ chiều dài 23 (m) hỏi chu kỳ đong đƣa dài bao nhiêu giây? (lấy 2 chữ số thập phân) HD: Thay L 2 3;g 9,81 vào cơng thức , ĐA: 3,88 giây b) Một ngƣời muốn thiết kế một dây đu sao cho một chu kỳ đong đƣa của nĩ kéo dài 4 giây. Hỏi ngƣời đĩ phải làm một dây đu dài bao nhiêu? (làm trịn đến mét) HD: Thay T 4; g 9,81 vào cơng thức tìm L ĐA: 4m. Bài tập 20. Vận tốc (tốc độ) của sống thần và chiều sâu của đại dƣơng, nơi xuất phát sĩng thần, liên hệ bởi cơng thức: v gd Trong đĩ: d là độ sâu của đại dƣơng (tính bằng mét), v là vận tốc của sĩng thần (tính bằng m/s) và g = 9,8m/s2. a) Tìm vận tốc của một cơn sĩng thần xuất phát từ đáy biển cĩ độ sâu 1600m. HD: Thay d và g vào cơng thức ĐA: v= 125,2 m/s b) Một cơn sống thần cĩ vận tốc 140m/s. Tìm độ sâu của đại dƣơng nơi sĩng thần xuất phát. HD: Thay v và g vào tìm d ĐA: d = 2000m 5
4. ĐỀ CƢƠNG ƠN GIỮA KÌ 1 NĂM HỌC 2021 – 2022 Bài tập 21. Khăn quàng đỏ là biểu tƣợng và đồng phục của đội viên Đội Thiếu niên Tiền phong Hồ Chí Minh. Khăn quàng đỏ là một miếng vải màu đỏ hình tam giác cân, cạnh đáy 1 tối thiểu là 1m, đƣờng cao bằng cạnh đáy. 4 Chiếc khăn quàng đỏ của bạn hiếu cĩ diện tích 16dm2. Hãy tính chiều cao và độ dài cạnh đáy của chiếc khăn quàng đỏ đĩ. 1 HD: Thay S , a và h = a vào cơng thức diện tam giác cân S = a.h 2 ĐA: h = 32m, a = 11,3m 210 Bài tập 22. Tìm các kích thƣớc của tờ giấy A4, biết rằng tỉ số hai kích thƣớc của nĩ là 297 và độ dài đƣờng chéo của nĩ là 3 14701mm. HD: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ĐA: a= 210mm, b = 297mm B. HÌNH HỌC CHỦ ĐỀ . HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUƠNG 1. Lý thuyết 1.1. Các hệ thức về c nh và đường cao trong tam A giác vuơng Viết tắt: Cạnh gĩc vuơng (cgv), cạnh huyền (ch), hình chiếu (hc) Cho tam giác ABC vuơng tại A và cĩ đƣờng cao AH. Ta cĩ các hệ thức: B H C 1.AB2 HB . BC ; AC 2 HC . BC (cgv 2 ch . hc ) 2.AH . BC AB . AC . (đc.ch=cgv12 . cgv ) 3.AH22 HB . HC . (đc hc . hc ) 1 1 1 4. AH2 AB 2 AC 2 * Định lí Pytago: AB2 AC 2 BC 2 6
5. ĐỀ CƢƠNG ƠN GIỮA KÌ 1 NĂM HỌC 2021 – 2022 1.2. Tỉ số lư ng giác của gĩc nhọn A Cho tam giác ABC vuơng tại A cĩ ABC Ta cĩ định nghĩa : AC đối AB kề sin (= ); cos (= ) BC huyền BC huyền AC đối AB kề C tan ; cot B AB kề AC đối Ch ý: Từ định nghĩa ta chứng minh đƣợc các kết quả sau: 1 tan .cot 1 cot tan sin cos tan ;cot cos sin 1.3. Các hệ thức về c nh và gĩc trong tam giác vuơng: Cho tam giác ABC vuơng tại A. khi đĩ b = a.sinB; c = a.sinC; (cgv = ch.sin gĩc đối hoặc cgv = ch. Cos gĩc kề) b = c.tanB; c = c.tanC; b = c.cotC; c = b.cotB. (cgv = cgv kia . tan gĩc đối hoặc cgv = cgv kia. Cot gĩc kề) 2. BAI TẬP Câu 1. Cho tam giác ABC vuơng tại A, đƣờng cao AH. Biết AB = 6m; AC = 8 cm a/ Tính BC, AH b/ Kẻ HM AB , HN AC. Tính MN HƯỚNG DẪN : HS vẽ hình a/ Áp dụng định đý Pytago tính BC = 10cm Tính AH = 4,8cm b/ Chứng minh AMHN là hình chữ nhật (Vì Aˆ Mˆ Nˆ 900 )  AH = MN = 4,8cm Câu 2. Cho tam giác ABC cĩ AB = 6cm, AC = 4,5cm, BC = 7,5cm. a/ Chứng minh tam giác ABC vuơng. Tính độ dài đƣờng cao AH. b/ Gọi E, F lần lƣợt là hình chiếu của H trên AB và AC. A Chứng minh rằng: EF2 = HB.HC. HƯỚNG DẪN : E HS vẽ hình F a/ Ta cĩ : AB2 AC 2 6 2 (4,5) 2 56,25 (7,5) 2 BC 2 C B Vậy tam giác ABC vuơng tại A (định lý Pytago đảo) H AH. BC AB . AC AH ......thế số đo vào tính AH = 3,6cm b/ Tứ giác AEHF cĩ AEF 900 nên AEHF là hình chữ nhật, do đĩ EF= AH. AH2=HB.HC = EF2= HB.HC 7
6. ĐỀ CƢƠNG ƠN GIỮA KÌ 1 NĂM HỌC 2021 – 2022 Câu 3. Cho tam giác ABC vuơng tại A cĩ AB = 3 cm, AC = 4 cm. Gọi M, N lần lƣợt là hình chiếu vuơng gĩc của H lên các cạnh AB và AC. a/ Tính độ dài cạnh BC. b/ Tính sinB và gĩc C? c/ Tính MN? HƯỚNG DẪN : HS vẽ hình a/ Áp dung Đl Pytago tính BC = 25 5 cm AC AB b/ SinB = 0,8 ; SinC = 0,6 BC BC c/ Vì AMHN là hình chữ nhật nên AH = MN. Tính AH = 2,4 cm. Vậy MN = 2,4 cm. Câu 4. Cho ABC vuơng tại A cĩ AB = 3 cm, AC = 4 cm. Tính BC, B , C . HƯỚNG DẪN HS vẽ hình A Theo Pytago tính BC = 322 4 5cm. AC 4 0 sinB = 0,8 B 53 8’. BC 5 0 0 B C C = 90 – B 36 52’. H Câu 5. Cho tam giác ABC vuơng tại A, đƣờng cao AH. Tính độ dài AH biết HB = 1cm; HC = 4cm. HƯỚNG DẪN HS vẽ hình, theo hệ thức lư ng trong tam giác vuơng tính AH = 2cm Câu 6. a/ Cho ABC vuơng tại A biết AH  BC ; AB = 6cm, AC = 8cm. Tính AH, BH. b/ Cho tam giác ABC vuơng tại A, AB = AC và đƣờng cao AH = 6cm. Tính độ dài các đoạn thẳng AB, BC và CH. A HƯỚNG DẪN a/ Theo Py ta go tính BC = 10cm Theo hệ thức lƣợng AH.BC =AB.AC => AH = 4,8 cm 2 Theo AB = HB .BC => HB = 3,6cm B C H b/ Tam giác ABC vuơng cĩ AB = AC Bj và đƣờng cao AH = ½ BC => BC = 12 cm; Theo hệ thức lƣợng AB.AC = AH.BC => AC =62cm H AC2 BC.C H CH 6 cm C A CÁC BÀI TỐN THỰC TẾ ỨNG DỤNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUƠNG Câu 1. Một chiếc thang dài 3m. Cần đặt chân thang cách chân tƣờng một khoảng bằng bao nhiêu để nĩ tạo đƣợc với mặt đất một gĩc “an tồn” 650 (tức là đảm bảo thang khơng bị đổ khi sử dụng? Khi đĩ điểm cao nhất của thang cách mặt đất bao nhiêu? 8
7. ĐỀ CƢƠNG ƠN GIỮA KÌ 1 NĂM HỌC 2021 – 2022 (làm trịn đến chữ số thập phân thứ hai) B HƯỚNG DẪN GIẢI: Hs cần vẽ hình minh họa Tam giác ABC vuơng tại A cĩ: Cần đặt thang cách chân tƣờng một khoảng là: 3m AC = BC. Cos65 = 1,3 m Điểm cao nhất của thang cách mặt dất một Khoảng là: 65° AC = 3 . sin 60 = 3 căn 3 / 2 xấp xỉ bằng 2,6 m C A AB = BC. Sin C = 2,72cm Câu 2. Một cây cau cĩ chiều cao 6m (Hình 2). Để hái một buồn cau xuống, phải đặt thang tre sao cho đầu thang tre đạt độ cao đĩ, khi đĩ gĩc của thang tre với mặt đất là bao nhiêu, biết chiếc thang dài 8m (làm trịn đến phút) HƯỚNG DẪN GIẢI: Hs cần vẽ hình minh họa Tính gĩc B  Xét ∆ABC vuơng tại A, tính SinB Câu 3. Muốn tính khoảng cách từ điểm A đến điểm B nằm bên kia bờ sơng, ơng Việt vạch từ A đƣờng vuơng gĩc với AB (Hình 3). Trên đƣờng vuơng gĩc này lấy một đoạn thẳng AC = 30m, rồi vạch CD vuơng gĩc với phƣơng BC cắt AB tại D (xem hình vẽ). Đo AD = 20m, từ đĩ ơng Việt tính đƣợc khoảng cách từ A đến B. Em hãy tính độ dài AB và số đo gĩc ACB. HƯỚNG DẪN GIẢI:  Xét ∆BCD vuơng tại C, tính AB = 45 cm  Xét ∆ABC vuơng tại A, tính ACB 560' 18 Câu 4. Một ngƣời thợ sử dụng thƣớc ngắm cĩ gĩc vuơng để đo chiều cao của một cây dừa, với các kích thƣớc đo đƣợc nhƣ hình bên. Khoảng cách từ vị trí gốc cây đến vị trí chân của ngƣời thợ là 4,8m và từ vị trí chân đứng thẳng trên mặt đất đến mắt của ngƣời ngắm là 1,6m. Hỏi với các kích thƣớc trên thì ngƣời thợ đo đƣợc chiều cao của cây đĩ là bao nhiêu? (làm trịn đến mét). C HƯỚNG DẪN GIẢI: HS vẽ hình minh họa Chứng minh tứ giác ABDH là hình chữ nhật ; B D  Xét ∆ADC vuơng tại D và DB là đƣờng cao. Tính BC = 14,4 m 1,6m 4,8m Tính AC = AB + BC = ..= 16m A H 9
8. ĐỀ CƢƠNG ƠN GIỮA KÌ 1 NĂM HỌC 2021 – 2022  Vậy chiều cao của cây dừa là 16m Câu 5. Một máy bay đang bay ở độ cao 12km. Khi bay hạ cánh xuống mặt đất, đƣờng đi của máy bay tạo một gĩc nghiêng so với mặt đất. a/ Nếu cách sân bay 320km máy bay bắt đầu hạ cánh thì gĩc nghiêng là bao nhiêu (làm trịn đến phút)? b/ Nếu phi cơng muốn tạo gĩc nghiêng 50 thì cách sân bay bao nhiêu kilơmét phải bắt đầu cho máy bay hạ cánh (làm trịn đến chữ số thập phân thứ nhất)? HƯỚNG DẪN GIẢI: a/ HS vẽ hình minh họa  Xét ∆ABC vuơng tại A, tính . Vậy gĩc nghiêng là b/  Hình vẽ minh họa bài tốn:  Xét ∆ABC vuơng tại A, tính Câu 6. Từ một đài quan sát cao 350m so với mực nƣớc biển, ngƣời ta nhìn thấy một chiếc thuyền bị nạn dƣới gĩc 200 so với phƣơng ngang của mực nƣớc biển. Muốn đến cứu con thuyền thì phải đi quãng đƣờng dài bao nhiêu mét? HƯỚNG DẪN GIẢI:  Hình vẽ minh họa bài tốn: (vì AC // Bx và 2 gĩc ở vị trí so le trong) 10
9. ĐỀ CƢƠNG ƠN GIỮA KÌ 1 NĂM HỌC 2021 – 2022  Xét ∆ABC vuơng tại A, ta tính AC = 961,6 m  Vậy muốn cứu con thuyền thì phải đi quãng đƣờng dài khoảng 961,6m Câu 7. Một khối u của một bệnh nhân cách mặt da 5,7cm đƣợc chiếu bởi một chùm tia gamma. Để tránh làm tổn thƣơng mơ, bác sĩ đặt nguồn tia cách khối u (trên mặt da) 8,3cm (xem hình vẽ). Tính gĩc tạo bởi chùm tia với mặt da và chùm tia phải đi một đoạn dài bao nhiêu để đến đƣợc khối u? HƯỚNG DẪN GIẢI: Hình vẽ minh họa bài tốn B 8,3cm A  Xét ∆ABC vuơng tại A, ta cĩ: Tính B 340' 28 . Định lý Pytago tính BC = 10,1 cm  Vậy gĩc tạo bởi chùm tia với mặt da là 34028’ và chùm tia 5,7cm phải đi một đoạn dài khoảng 10,1cm để đến đƣợc khối u. Câu 8. Một ngƣời quan sát đứng cách một cái tháp 10m, nhìn thẳng đỉnh tháp và chân tháp lần lƣợt dƣới 1 gĩc 550 và 100 so với phƣơng ngang của mặt C đất. Hãy tính chiều cao của tháp. C HƯỚNG DẪN GIẢI: Hình vẽ minh họa  Dựa vào hình vẽ minh họa, ta cĩ: AH = BD = 10m 0  Xét ∆AHB vuơng tại H, ta tính BH = 10.tan10 0  Xét ∆AHC vuơng tại H, ta tính CH = 10.tan55 550 H A  100  Vậy chiều cao của tháp là 16m Câu 9. Một con thuyền qua khúc sơng với vận tốc 3,5km/h B 10m D mất hết 6 phút. Do dịng nƣớc chảy mạnh nên đã đẩy con thuyền đi qua sơng trên đƣờng đi tạo với bờ một gĩc 250. Hãy tính chiều rộng của con sơng? 11
10. ĐỀ CƢƠNG ƠN GIỮA KÌ 1 NĂM HỌC 2021 – 2022 B C HƯỚNG DẪN GIẢI: HS vẽ hình vẽ minh họa bài tốn 1  Chuyển đổi: 6 phút h 10  Tính quãng đƣờng con thuyền đi đƣợc là: s = v.t = 350m 250  Xét ∆ABC vuơng tại B, ta tính AB 317,21m  Vậy chiều rộng của con sơng là 147,92m A Câu 10. Một tịa nhà cao tầng cĩ bĩng trên mặt đất là 272m, cùng thời điểm đĩ một cột đèn cao 7m cĩ bĩng trên mặt đất dài 14m. Em hãy cho biết tịa nhà đĩ cĩ bao nhiêu tầng, biết rằng mỗi tầng cao 3,4m? HƯỚNG DẪN GIẢI:  Hình vẽ minh họa bài tốn: B' B ? 7m A 14m C A' 272m C'  Vì các gĩc tạo bởi tia nắng mặt trời và mặt đất là bằng nhau nên gĩc C bằng gĩc C’ AB A' B' tanC tanC' (tỉ số lƣợng giác của gĩc nhọn) AC A' C' 12
11. ĐỀ CƢƠNG ƠN GIỮA KÌ 1 NĂM HỌC 2021 – 2022 AB.A'C' 7.272 A' B' 136m AC 14 136  Vậy tịa nhà cĩ: 40 (tầng) 3,4 Câu 11. Giơng bão thổi mạnh, một cây tre gãy gập xuống làm ngọn cây chạm đất và ngọn cây tạo với mặt đất một gĩc 300. Ngƣời ta đo đƣợc khoảng cách từ chỗ ngọn cây chạm đất đến gốc cây tre là 8,5m. Giả sử cây tre mọc vuơng gĩc với mặt đất, hãy tính chiều cao của cây tre đĩ (làm trịn đến chữ số thập phân thứ hai) B HƯỚNG DẪN GIẢI:  Hình vẽ minh họa bài tốn:  Xét ∆ADC vuơng tại C, ta tính AD 8,5.tan300 m AC 8,5  Và tính DC m D cosDCA cos300 AB AD DC ... 14,72m 300  Vậy chiều cao của cây tre là 14,72m C 8,5m A Câu 12. Tính chiều cao của trụ cầu Cần thơ so với mặt sơng Hậu cho biết tại hai điểm cách nhau 89m trên mặt sơng ngƣời ta nhìn thấy đỉnh trụ cầu với gĩc nâng lần lƣợt là 400 và 300. HƯỚNG DẪN GIẢI:  Hình vẽ minh họa bài tốn: AB AB B  Xét ∆ABD vuơng tại A, ta tính AD m (1) tanADB tan400 AB AB  Xét ∆ABC vuơng tại A, ta tính AC m (2) tanACB tan300  Ta cĩ: AD DC AC (vì D thuộc AC) 0 40 300 ............ AB 164,7m C  Vậy chiều cao của trụ cầu Cần thơ so với mặt sơng Hậu là A D 89m 164,7m 13